数学中常用的一种小技巧（18年11月30日）

老师：小明，帮我递一下计算器。

小明：老师，你算什么东西啊？

老师暴怒，小明卒。

小明这样的熊孩子还是自己教放心。

家长是孩子最好的老师，

这是奥数君第693天给出奥数题讲解。

今天的题目是数论问题，

所用知识不超过小学4年级。

题目（4星难度）：

有一个四位数m，其各位数字和是n。如果m+n等于2018，请问满足条件的四位数m有多少个？

讲解思路：

这道题属于数论问题，

解题思路分为两步：

第一步是尽量缩小m的范围，

第二步是根据m范围对前三位讨论。

这种分类讨论的方法，

是数学中的常用技巧。

步骤1：                  

先思考第一个问题，

m的范围是多少？

由于四位数的数字和最大是36，

故m一定大于2018-36=1982。

这说明m的前两位数是20或19，

则m的前两位数字和最大是1+9=10，

n最大是1+9+9+9=28，

又n最小是2+0+0+0=2，

由于m+n=2018,

而2018-28=1990，2018-2=2016，

因此m的范围是1990到2016。

这说明m的前三位是199，200或201，

下面将对这3种情况分别讨论。

步骤2：

再思考第二个问题，

如果m是199A的形式，

满足条件的m有多少个？

此时n=1+9+9+A=19+A,

而m=1990+A，

故m+n=2009+2*A=2018,

满足条件的A不存在，

因此这时满足条件的m没有。

步骤3：

再思考第三个问题，

如果m是200A的形式，

满足条件的m有多少个？

此时n=2+0+0+A=2+A,

而m=2000+A，

故m+n=2002+2*A=2018,

满足条件的A=8，

因此满足条件的m有1个即2008。

步骤4：

再思考第四个问题，

如果m是201A的形式，

满足条件的m有多少个？

此时n=2+0+1+A=3+A,

而m=2010+A，

故m+n=2013+2*A=2018,

满足条件的A不存在，

因此这时满足条件的m没有。

综合步骤2、3、4的结论，

在四位数中只有2008满足原题要求，

所以原题目的答案是只有1个。

注:本题还有另外一种方法是不定方程，

但本质也是分类讨论。

思考题（4星难度）：  

有一个四位数m，其各位数字和是n。如果m-n等于2018，请问满足条件的四位数m有多少个？

微信回复“20181130”可获得思考题答案。

注：过4个月之后，关键词回复可能失效。

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